La
geometría sagrada
Hernán Duval
1.- Qué de la Geometría es Sagrado?
Efectivamente
todos hemos aprendido que la geometría, en términos básicos, es una rama de las
matemáticas que estudia la lógica de las formas en el espacio, ya sea
bidimensional o tridimensional. Es decir, trabaja y explica problemas concretos
de la forma. En la vida práctica la geometría presta una gran utilidad para
medir las tierras y para poder analizar y comprender las obras concretas que
realiza el ser humano (puentes, acueductos, edificios, etc.).
Por otro
lado el término sagrado nos sugiere una dimensión espiritual o moral que se inserta en
la evolución del ser humano, con una proyección trascendente. Es decir,
como lo contrario a lo profano y al rol cotidiano y práctico de nuestras vidas.
A primera
vista la geometría, en su dimensión arquetípica, nos parece que tiene más que
ver con el mundo práctico y cotidiano, porque es ahí donde presta su real
utilidad. Entonces, cómo es que podemos instalarla en una dimensión espiritual
y trascendente?
De modo de
poder sumergirnos en esta disciplina, es necesario comprender que vamos a
trabajar con nuestra dimensión racional al mismo tiempo que lo hacemos con
aquella espiritual y con nuestra intuición. Es decir, estaremos alternando
entre nuestro hemisferio izquierdo y el derecho.
La
Geometría Sagrada es un conocimiento que se remonta a los inicios de los
tiempos, viene de épocas ancestrales, y es probable que no se puedan encontrar
sus orígenes, aun cuando se pueden registrar rastros de ésta en diversas civilizaciones,
como la Egipcia, la Maya, la Hindú, las comunidades Neolíticas, por mencionar
sólo algunas. Las preguntas que surgen son:
Qué
buscaban aquellos que dejaron las huellas que nos permiten identificar una
Geometría Sagrada? Cómo y de quién o de quiénes recibieron este conocimiento?
Ha habido
muchos estudiosos que se han hecho estas preguntas y que han logrado
estructurar un campo de conocimiento y experimentación que ha permanecido
oculto por mucho tiempo. Desde Platón, pasando por Fra Luca Pacioli,
Leonardo da Vinci, Leonardo de Pisa, Matila C. Ghyka, hasta los actuales
físicos cuánticos y estudiosos espiritualistas como Drunvalo Melchizedek o
artistas como Charles Gilchrist, el artista, matemático y geómetra George W.
Hart y muchos otros que nos han permitido ir descubriendo y develando el
misterio que hay detrás de la Geometría Sagrada.
La
enseñanza que nos han dejado nos permite comprender que la Geometría Sagrada es un
conocimiento que contiene el patrón de crecimiento, evolución, expansión y desarrollo
de todo lo manifestado, lo que, de alguna manera, nos revela los orígenes del
tejido del universo. Como patrón de crecimiento, podemos decir que se
trata de una forma abstracta de razonamiento y como tal se puede aplicar no
solo a procedimientos y fenómenos concretos, naturales y empíricos, sino que
también a realidades conceptuales, abstractas e incluso espirituales.
En este
contexto no se puede dejar de mencionar la estrecha relación que existe entre lo
sagrado de la geometría con lo sagrado de los números. Esta se
manifiesta a través de las series numéricas y las relaciones y razones
numéricas existentes en las proporciones de las partes componentes de las
entidades geométricas, las cuales expondremos más adelante. Podríamos decir que
la
geometría traza el despliegue de los números en el espacio, realizando
un viaje o un camino desde el simple punto, pasando por la línea y llegando al
plano, para luego entrar a la tercera dimensión y eventualmente trascenderla,
para luego retornar al punto nuevamente. En otras palabras se trata de una disciplina
que incursiona en las leyes de ordenación del universo y de la huella digital
de la creación. A través de proporciones, patrones, sistemas, códigos y
símbolos, establece las bases tanto de la creación natural (el universo, la
materia, los organismos vivos y su ADN) como de las re-creaciones humanas: el
arte, la arquitectura, el diseño, la ciencia, la física, la música, la cábala,
las matemáticas, etc. A través de estas últimas, el hombre hace de creador e intenta
acceder a niveles superiores de consciencia, entendimiento, conocimiento o
sensibilidad que lo conecten en forma creciente con la vastedad que lo rodea. Y
esto lo logra cuando basa su creación consciente o inconscientemente – en la
Geometría Sagrada, obteniendo así lo que G.I. Gurdjieff llamaba arte objetivo:
El arte oriental es preciso,
matemático, sin manipulaciones. Es una forma de escritura Por ejemplo, tomemos
la arquitectura. He visto algunos ejemplos de arquitectura en Persia y Turquía;
por ejemplo, un edificio de dos habitaciones. Todo aquel que entraba a estas
habitaciones, ya fuera viejo o joven, inglés o persa, lloraba El resultado era
siempre el mismo. Con estas combinaciones arquitectónicas, las vibraciones
calculadas matemáticamente contenidas en el edificio no podían producir otro
efecto. Estamos bajo ciertas leyes y no podemos resistir las influencias
externas. Como el arquitecto de este edificio tenía una comprensión diferente y
construyó matemáticamente, el resultado era siempre el mismo. Hicimos otro
experimento. Afinamos nuestros instrumentos musicales de un modo especial y
combinamos los sonidos de tal manera que aún trayendo a los transeúntes
casuales de la calle obtuvimos el resultado que queríamos. La única diferencia
era que uno sentía más, otro menos. Supongamos que llega a un monasterio; usted
no es un hombre religioso, pero lo que tocan y cantan allí evoca en usted el
deseo de orar. Y así sucede con todos. Este arte objetivo está basado en leyes…
(Extractado
de Perspectivas desde el Mundo Real, Ed. Hachette, Argentina, 1977, págs.
164-165).
Como
verán, se trata de incursionar en un recorrido donde los números se despliegan
desde un espacio bidimensional en una superficie plana y luego en un espacio
tridimensional. Este proceso ha generado un lenguaje universal
cuya carga simbólica trasciende fronteras y épocas en el tiempo, y que es el
vínculo axiomático sine qua non para una correspondencia entre lo grande y lo
pequeño, entre arriba y abajo, según la Ley de Analogía. Este recorrido
es el camino de toda realidad manifestada desde su punto inicial de creación
hasta su retorno al origen.
Los
practicantes de la geomancia se interesan en la Geometría Sagrada porque es el
estudio de la manera en que el espíritu se integra a la materia, a través de
amplificar y resonar la geometría de la naturaleza y los movimientos
planetarios, logramos alinear la resonancia del cuerpo/mente/espíritu con la
frecuencia armónica de lo superior y lo inferior.
También
están interesados en la Geometría Sagrada porque se ha descubierto que ciertos
espacios con proporciones especiales, permiten al individuo vibrar en una
frecuencia apropiada que le permite maximizar la posibilidad de conexión con el
Único. (Extractado de Why
Sacred Geometry from Mid Atlantic Geomancy.) www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada
2.- El origen y el Génesis.
2.1.- El vacío.
Antes de
comenzar con el primer elemento manifestado, intentaremos imaginar el espacio
vacio (fig. 1) en el cual aun no existe nada y se
constituye como el principio de la creación. Es aquel espacio infinito
y plenipotencial en el cual se penetra en la meditación cuando logramos acallar
la mente y entramos en el vacío, que es como estar flotando en ninguna parte y
que sólo es invadido por una luz blanquecina.
2.2.- El punto
En este
espacio aparece un simple punto (fig. 2) que será nuestro primer arquetipo que conforma la
primera dimensión. Este representa la consciencia de unidad, la mente divina e
indivisible. Es donde comenzamos nuestro camino, desde donde
iniciaremos nuestra misión para luego retornar al punto que es la raíz absoluta
del concepto mental y el que, del mismo modo, es la raíz del pensamiento
holístico. Para nosotros es el punto de síntesis que brota del tercer ojo en la
glándula hipófisis en el cerebro.
2.3.- Los dos puntos.
Del
universo unidimensional pasamos al bidimensional donde la unidad se transforma en
dualidad. Ocurre este gran milagro y misterio donde el punto aislado se divide
y se transforma en dos puntos que dan paso a la segunda dimensión (fig.
3). A partir de esta instancia nos vemos enfrentados a la primera dualidad que
genera un espacio medible. Aparece una relación espacial dentro de la cual
podemos habitar y desplazarnos.
2.4.- El radio y el arco.
Desde el
momento que podemos desplazarnos, damos origen a una línea. Es el movimiento
entre el primer y segundo punto, es decir la línea recta entre los puntos A y B. Este primer movimiento que se
traslada entre estos dos puntos da origen al radio (Fig 4), el
cual representa el arquetipo masculino. A continuación se manifiesta un
movimiento de rotación donde el punto B gira en torno al punto A configurando
el arco (fig. 5), que representa el arquetipo femenino.
Es el origen de la dualidad radio/arco de
la cual se genera todo camino posterior. Con propiedad podemos llamarlo el
movimiento raíz.
A partir de éste se despliega todo el concepto de
dualidad:
Ying y Yang
Luz y oscuridad
Izquierda y derecha
Arriba y abajo
Adelante y atrás
Madre y padre
Etc.
El juego radio/arco establece todas las energías del universo.
2.5.- El circulo.
El arco
continuará girando a partir del punto B
en torno al punto A hasta volver a
retornar al punto B desde donde
comenzó a girar. Este movimiento da origen a la primera forma cerrada de la
Geometría Sagrada. El círculo es una manifestación bidimensional de la Mente Divina e
indivisible. Además representa un movimiento y un tiempo que se
manifiesta como el primer ciclo cerrado o la primera forma cerrada de la
Geometría Sagrada. Es como el ciclo inicial que expresa el Génesis.
Esta
relación de desplazamiento en el tiempo del radio/arco se ha expresado en
términos matemáticos como Phi, que es la proporción de la circunferencia del
círculo con su diámetro. Se trata de un número trascendental o irracional
(se verán los números irracionales más adelante), con un valor de 3,14159265.
Para propósitos prácticos Phi =
3,1416.
Los
números trascendentes son irracionales, pero no todo irracional es trascendente
(por ejemplo raíz de 2). Es decir, trascendente implica irracional pero no al
revés. El número Phi no sólo
es irracional (no es igual a ninguna fracción o cociente de dos enteros) sino
que además trascendente. No es algebraico, es decir no es solución de ninguna
ecuación algebraica (=polinominal).
2.6.- El rayo y las seis direcciones.
Nuestra
consciencia situada en el centro del espacio puede proyectarse en seis
direcciones y por tanto seis rayos. Adelante y atrás, izquierda y derecha y arriba y bajo. Esto lo
tenemos que visualizar en el espacio tridimensional
(fig. 7). Cabe considerar que para los budistas estas direcciones del
espacio pasan a ser diez.
Luego
podemos trasladar esta imagen tridimensional a una de dos dimensiones o plana,
logrando que estos seis rayos giren y completen el círculo (fig. 8), y a su vez
den origen a seis puntos B sobre la
circunferencia del círculo. Estos a su vez dan origen a los ejes del
patrón de crecimiento de la creación.
Es así
como la línea recta o el rayo (arquetipo masculino) en conjunto con la línea
curva o arco (arquetipo femenino), dan origen al primer ciclo completo o
Génesis que es simbolizado por el primer círculo (bidimensional) o esfera
(tridimensional)
2.7.- Primer movimiento. Dos círculos de radio
común.
A partir
de este círculo (o esfera), se insinúa el primer movimiento, que no hace otra
cosa que duplicar esta figura arquetípica, dando origen al primer día después
del Génesis. Este segundo círculo se desplaza haciendo centro donde el rayo
intercepta el primer círculo originario (punto B).
Esta es la primera forma traslapada de la Geometría Sagrada, llamada dos círculos con radio común (fig.9).
Esta es la primera forma traslapada de la Geometría Sagrada, llamada dos círculos con radio común (fig.9).
2.8.- La Vesica Piscis.
Este
primer movimiento o día del Génesis da origen a la segunda forma cerrada de la
Geometría Sagrada: La Vesica Piscis, también
conocida como la vejiga del pez o mandorla (fig. 10). Esta forma es como el útero o
matriz del universo. A partir de ella se crean todas las formas que se
desarrollan en el espacio.
A partir
de esta imagen nacen dos nuevos puntos, el C
y el D, los cuales se han
concebido como los hijos mellizos de A y
B. Esta figura también hay que
imaginarla en tres dimensiones, en donde las dos esferas dan origen a esta
nueva figura tridimensional que es como una pelota de rugby o zeppelín.
Por lo
tanto podemos decir que este primer movimiento del Génesis da origen
al patrón de la vida y de la luz, y por tanto a partir de este momento
nuestros ojos pueden ver la creación.
2.9.- El segundo movimiento.
El segundo
movimiento da origen a un tercer círculo o tercera esfera que representa el
segundo día (fig. 11) después del Génesis. La relación de estas tres esferas o
círculos dan origen a la estrella tetraédrica (fig. 12).
2.10.- El tercer movimiento.
Este da
origen al cuarto círculo o esfera que representa el tercer día del Génesis
(fig. 13). Si se observan detenidamente veremos que estos cuatro círculos contienen
cinco Vesica Piscis y un pétalo central, el cual
constituye otra de las figuras contenidas de la Geometría Sagrada (fig. 14).
Estos
cuatro círculos son muy simbólicos ya que representan la esencia de la familia en el
lenguaje de la Geometría Sagrada. Los círculos 1 y 2 son los padres,
los 3 y 4 los hijos, y el corazón de la familia se nos presenta en forma de
pétalo.
2.11.- El cuarto, quinto y sexto movimiento.
Dan
origen, respectivamente al quinto, sexto y séptimo círculos o esferas, que a su
vez simbolizan el cuarto, el quinto y el sexto día del Génesis (figs. 15, 16 y
17).
3.- La Semilla de la Vida.
De esta
forma, al completar el séptimo círculo, se completa el patrón del Génesis y el
principio de la creación del universo. Es así como se da origen a lo
que se conoce como La Semilla de la Vida (fig. 18); y a partir de esta se
concibe el Tubo Toro (llamado simplemente Toro por los matemáticos) o Toroide
(fig. 19). Esta es una figura tridimensional que es el resultado de rotar el
patrón del Génesis en 360 grados alrededor del centro. Es una esfera que se
curva hacia sí misma por arriba o por abajo. Se le suele comparar con una
rosquilla, con el anillo de humo de un cigarro o con un neumático o un
salvavidas. Pero al mismo tiempo se puede concebir con un orificio central
infinitamente pequeño hacia el cual rotan los círculos componentes, como si
fuera un toroide más cerrado (fig. 20).
Fig. 19 Toroide o Tubo Toro Fig. 20 Toroide cerrado.
4- El huevo de la vida.
A
continuación de la semilla de la vida y patrón del Génesis, se produce una
segunda rotación hacia el exterior de los seis círculos de esta. Esto se logra
haciendo centro en los respectivos cruces de los seis círculos y trazando los
próximos seis círculos del mismo tamaño que los anteriores (fig. 21). Luego se
borran los primeros seis círculos y se obtiene la silueta del huevo de la vida
(fig. 22).
Fig. 21 Construcción del huevo de la vida Fig. 22 Silueta del huevo de la vida
El huevo de la vida da forma al embrión de la vida humana (a partir de la mórula inicial) y a la morfogenética del cuerpo. El
cómo la existencia física de nuestros cuerpos se origina en el huevo de la vida
es materia de un nuevo estudio. En todo caso su carácter embrionario y su
forma circular se manifiesta como una cualidad de la geometría femenina, la
cual revela las primeras formas geométricas masculinas de carácter angular y en
base a tramos rectos. Estas son el cubo, el tetraedro y la estrella
tetraédrica (fig. 23).
Fig. 23 Cubo, Tetraedro, Estrella tetraédrica
5.- La Flor de la Vida.
Si
observamos la construcción del huevo de la vida (fig. 21) , veremos que hay
seis puntos donde se cruzan tres círculos. Si hacemos centro en cada uno de
ellos y trazamos sus respectivas circunferencias en el mismo tamaño que las
anteriores, obtendremos una tercera rotación (fig. 24).
Fig.
24 Tercera rotación Fig. 25 Siete
círculos tangentes
Esta tercera rotación permite la construcción
de la Flor de la Vida. Son seis círculos azules, seis verdes y seis
rojos, más el verde central, que hacen un total de 19 círculos. Es muy
importante observar que los seis círculos exteriores azules tocan
tangencialmente al círculo verde central. Podemos reproducir esta figura si
colocamos siete monedas iguales sobre una mesa (fig. 25).
Estos
diecinueve círculos conforman una figura de una gran importancia en la
Geometría Sagrada y ha estado presente en las más variadas civilizaciones desde
tiempos inmemoriales.
Siempre los diecinueve círculos, los cuales fueron rodeados por dos círculos
mayores, son los que dieron forma a la Flor de la Vida (fig. 26). A esta altura
nos damos cuenta que este patrón podría seguir hasta el infinito, sin embargo
se detiene aquí.
Fig. 26 La Flor de la Vida Fig. 27 Trece círculos tangentes.
Al
observar este patrón vemos que en el perímetro externo de la figura se insinúan
muchos círculos que están incompletos. Si nos aventuramos a completarlos y seguir
con este patrón tendremos una cuarta rotación que nos permite continuar con los
círculos tangentes hasta llegar a tener trece (fig. 27). Al aislarlos
como si colocáramos, igual que lo hicimos antes, monedas del mismo tamaño en
forma tangente sobre la mesa, tendremos el Fruto de la Vida
(fig.28).
7.- El cubo Metatrón.
Hasta el
momento hemos incursionado principalmente en un patrón femenino, en el cual se
ha desplegado una gran cantidad de círculos, los cuales han arribado como una
suerte de síntesis, al patrón llamado el Fruto
de la Vida, conformado por trece círculos tangentes. Este patrón, en
conjunto con el Huevo de la Vida y
el Tubo Toro o Toroide conforman los
tres patrones fundamentales de la existencia.
A estos
patrones concebidos por círculos femeninos, se sobreponen líneas rectas
masculinas: los sistemas informacionales de la creación.
Así como
ocurriera con el Huevo de la Vida, el
cual permitió la formación de algunas formas masculinas a partir del punto
central de sus círculos, el Fruto de la Vida da origen, al unir los
puntos centrales de sus círculos, al Cubo Metatrón, que es la contraparte
masculina del Fruto de la Vida, utilizando la energía masculina de las líneas
rectas que unen dichos centros, y es uno de los sistemas informativos
esenciales de la creación. La correcta construcción del Cubo Metratón se logra trazando un
círculo cuyo centro está en el centro del círculo central y su radio coincide
con los centros de los círculos exteriores del fruto de la vida (círculo azul).
Luego se traza un segundo círculo (verde) con el mismo centro que el azul pero
con un radio que es igual al radio del círculo azul multiplicado por Phi de valor 0,6180339 (fig. 29).
Luego se
traza una estrella tetraédrica haciendo crecer la interior hasta que sus
vértices hagan contacto con el circulo interior (verde). Estos puntos indican
el trazado que permitirá trazar correctamente el Cubo Metatrón completo, de modo de poder trazar las coordenadas que
permiten construir la totalidad de los sólidos Platónicos, especialmente el
dodecaedro y el icosaedro, como se expone en el punto. 8 Los sólidos Platónicos a continuación (fig. 30).
Fig. 29 Círculos para la construcción del Cubo Metatrón.
Fig. 30 Cubo Metatrón completo.
Este cubo debe su nombre al ángel Metatrón, el cual también es
conocido como el primero y el último de los Arcángeles, y recibe diversas
denominaciones como Canciller del Cielo, Ángel de la Alianza y Rey de los
Ángeles. Su función celestial es la de supervisar la anotación de todos
nuestros actos en el Libro de la Vida.
8.- Los sólidos Platónicos.
Los
sólidos Platónicos son cinco estructuras espaciales que conforman volúmenes
tridimensionales en los cuales todas sus caras son de la misma forma y del
mismo tamaño y cuyos bordes o aristas tienen la misma longitud. Además todos los ángulos
interiores son también del mismo tamaño. Por último, si inscribimos cada sólido
Platónico en una esfera apropiada, todas las puntas tocarán la superficie de la
esfera.
Estos sólidos
fueron nominados luego que Platón los describiera en el 350 A.C. en su obra El
Timeo. Han llegado a ser la base de la estructura de la vida orgánica y de las
obras de creación humana. Las podemos encontrar en la vida animal y
orgánica, en los minerales, en el sonido, en el lenguaje, en la música, en las
artes plásticas, en la arquitectura, en las obras de ingeniería, etc.
Los cinco sólidos Platónicos son:
1. El tetraedro (fig. 31), cuyas caras son
cuatro triángulos equiláteros iguales. De este poliedro se desprende la estrella tetraédrica, que no es otra
cosa que dos tetraedros invertidos e intersectados (fig. 32).
2. El cubo o hexaedro (fig. 33), que es un poliedro
cuyas caras son seis cuadrados iguales.
3. El octaedro (fig. 34), cuyas caras son ocho
triángulos equiláteros iguales.
4. El dodecaedro (fig. 35), que es un poliedro
de doce caras conformadas por doce pentágonos regulares.
5. El icosaedro (fig. 36), que tiene veinte caras conformadas por
veinte triángulos equiláteros iguales.
Fig.
33 Cubo o hexaedro
Si observamos
con detención cada uno de estos poliedros trazados en el cubo Metatrón veremos
que tienen una versión igual pero más pequeña que se inscribe en los siete
círculos tangentes interiores que se manifestaron en la tercera rotación (fig.
24 y fig. 25)
9.- El árbol de la vida.
El Árbol de la Vida es el símbolo
geométrico que se expresa como la base de la Cábala, que es el antiguo sistema
místico del Judaismo. Cada uno de los vértices simboliza una sephirah, que a su
vez representa un atributo de Dios (fig. 37). En esta figura se puede ver la
perfecta relación existente entre el Árbol
de la Vida y el patrón del Génesis manifestado en la semilla de la vida.
Fig. 37 El Arbol de la Vida
Los
Sephiroth del Arbol de la Vida:
1. Kether (Corona)………………..6. Tiphereth (Belleza)
2. Binah (Comprensión)………….7. Hod (Gloria)
3. Kjokmah (Sabiduría)…………..8. Netzach (Victoria)
4. Gueburah (Poder)………………9. Yesod (Fundación)
5. Kjesed
(Misericordia)………….10. Malkuth (Reino)
10.- La cuadratura del círculo.
Como hemos
podido ver, el arco o línea curva representan el arquetipo femenino y el radio o
línea recta el masculino. La forma cerrada primaria que construye el
arco es el círculo, y en el caso de la línea recta es el cuadrado. Por
otro lado el círculo ha sido la forma que se le ha asignado a los cielos y el
cuadrado a la tierra. Desde muy
antiguo se ha intentado equilibrar o unificar el cielo con la tierra, el
espíritu con la materia, lo femenino con lo masculino, etc. En otras palabras,
asimilar al máximo el perímetro del cuadrado con el del círculo y su
circunferencia. Esto es lo que se conoce como la cuadratura del círculo.
Se trata
de construir un cuadrado que tenga el mismo perímetro que un círculo dado. O
bien la misma área que un círculo dado. Y resulta que no es posible construirlo
usando sólo regla y compás.
Es una
tarea que no ha sido fácil y es probable que la respuesta exacta todavía no
haya podido encontrarse. La respuesta es que no es posible realizar la
construcción con regla y compás, pero por supuesto, existe un cuadrado con la
propiedad requerida. Una de las aproximaciones más precisas radica en concebir
un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro de la tierra (12.700 klm). Es decir,
la tierra queda inscrita en un cuadrado de esta medida. En seguida se traza un
círculo haciendo centro en el centro del cuadrado que contiene el círculo de la
tierra y cuyo radio es igual a la suma del radio de la tierra (6.350 klm) más
el radio de la luna, cuyo diámetro es 3.500 klm aproximadamente (1.750 klm),
quedando el radio en cuestión en 8.100 klm (fig. 38)
Tenemos entonces el perímetro del cuadrado
A-B-C-D:
12.700 x 4
= 50.800 klms.;
Y el perímetro de la circunferencia de radio R:
2 x Pi
(3,1416) = 6,2832 x r (8100) = 50.894
Por otro lado el conocido dibujo de Leonardo da
Vinci del hombre Vitruviano, construido en la superposición del círculo y el
cuadrado, presenta una aproximación un poco más alejada que la anterior a la
buscada cuadratura del círculo (fig. 39).
En este dibujo el cuadrado
tiene como lado 7 unidades y el radio del círculo es de 4,2 unidades. Por lo
tanto:
Perimetro
del cuadrado = 7U x 4 = 28 U
Perimetro
de la circunferencia = 2 x pi (3,1416) = 6,2837 x r (4,2 U) = 26,4
Error = 5,7 %
Fig. 39 Hombre Vitruviano de Leonardo da Vinci. Fig. 40 Cuadratura del
círculo sobre cuatro círculos tangentes
Una
tercera aproximación a la cuadratura del círculo se ha construido partiendo de
cuatro círculos tangentes cuya suma de diámetros definen el lado del cuadrado
que los contiene. Luego, haciendo centro en el cruce de las diagonales del
cuadrado y con un radio que se integra al radio de los círculos interiores se
traza un circulo exterior que se aproxima a la cuadratura del círculo pero que
tampoco es exacta (fig. 40)
Perimetro
cuadrado = 5 U x 4 = 20
Perimetro
de la circunferencia = 2 x pi (3,1416) = 6,2832 x r ( 3 U) = 18,85
Error=
5,75%
11.- El eneagrama.
El
eneagrama es un símbolo sagrado cuyos orígenes se han situado en hermandades
Sufis y que fue presentado en Occidente por el maestro G. I. Gurdjieff.
Este símbolo es una combinación de la Ley de Tres con la Ley de Siete o de la
Octava. Sus significados pueden ser múltiples y su análisis requiere de
un estudio aparte. En todo caso podemos mencionar que expresa la ley o patrón de
evolución y organización de todos los fenómenos y procesos en los diversos
planos de la creación. Si bien en esta ocasión sólo veremos el
eneagrama como una imagen de dos dimensiones, es recomendable, al menos, imaginarlo
como una esfera tridimensional por la cual circulan energías que transitan los
nueve puntos repartidos regularmente en el círculo base. Es decir, se trata de
un patrón dinámico.
En esta
ocasión su construcción geométrica se ha realizado a partir del patrón llamado
el fruto de la vida, partiendo de la extensión de la flor de la vida.
Primero se han localizado tres ejes de dirección que dividen el patrón
mencionado en tres partes iguales. Luego se han ubicado (en azul) los tres
círculos exteriores en los extremos de los ejes (fig. 41).
En segunda
instancia se ubican (en verde) los círculos tangentes a los azules y entre
ellos, y en los centros de los círculos verdes se localizan los puntos que
dividen cada uno de los tres tramos en tres sub tramos, quedando un total de
nueve de ellos. Estos seis puntos son los que marcan el recorrido de la Ley de
Siete. Luego, haciendo centro en el punto central del patrón, y radio en los
centros de los círculos verdes, se traza la circunferencia (en rojo) que
contiene el eneagrama (fig. 42)
Por último, en los puntos en
que la circunferencia de color rojo corta los tres ejes de la fig. 41 se encuentran
los tres vértices del triángulo equilátero, el tetraedro que marca los puntos
3, 6 y 9 que simbolizan la Ley de Tres. Por otro lado los puntos 1, 2, 4, 5, 7,
y 8 son los que permiten la construcción de la Ley de Siete, cuyo recorrido
sigue el orden de 1, 4, 2, 8, 5, 7 y de vuelta al 1. Esta secuencia nace de la
unidad (1) dividida por el total de etapas (7). Del mismo modo, pero desfasado,
resulta al dividir:
1:7
= 0,1428571
2:7
= 0,2857142
3:7
= 0,4285714
4:7
= 0,5714285
5:7
= 0,7142857
6:7 = 0,8571428
El
eneagrama es una figura que generalmente se concibe en dos dimensiones, sin
embargo al hacerlo en tres dimensiones nos amplía considerablemente las proyecciones
que sobre él tenemos
(fig 44). En esta figura cada línea se transforma en un círculo y el triángulo
conformado por los puntos 3, 6 y 9 se transforma en una pirámide.
Fig. 44 Eneagrama tridimensional, Espacial y
volumétrico.
12.- La proporción y la razón matemática.
No cabe
duda de que hay variadas definiciones de belleza y muchas de ellas concuerdan
en que la belleza se logra cuando hay armonía en las proporciones. Para comprender el concepto de
proporción es recomendable remontarse a los orígenes y recurrir a lo que
entendían los griegos por proporción.
Entendían
que la
proporción es la igualdad entre dos razones, y la razón matemática se definió
como el cociente de dos magnitudes homogéneas, entendiendo como
cociente el resultado de la división de dos números.
La
proporción es algo que encontramos en la naturaleza tanto como en la creación
humana. Cuando éstas llegan a una cierta
aproximación o equivalencia, es que se puede hablar de una razón matemática que se expresa en una proporción divina, sagrada y de alcances espirituales. Se trata
de una proporción que, manifestándose en la naturaleza, es aprehendida y
aplicada en obras humanas.
En
realidad hay muchas proporciones o razones posibles, es un poco críptico hablar
de la proporción. En todo caso, aquí
proporción se utiliza como sinónimo de razón.
Pero es imposible combinar dos cosas sin una tercera; es preciso que exista
entre ellas un vínculo que las una. No hay mejor vínculo que el que hace de sí
mismo y de las cosas que une un todo único e idéntico. Ahora bien, tal es
la naturaleza de la proporción.
Platón: Timeo.
La
Geometría tiene dos grandes tesoros: uno el Teorema de Pitágoras; el otro es la
división de una línea en una proporción extrema y una media
Kepler
LA DIVINA PROPORCIÓN
A
ti, maravillosa disciplina,
media,
extrema razón de la hermosura,
que
claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
viva en la malla de tu ley divina.
A
ti, cárcel feliz de la retina
áurea
sección, celeste cuadratura,
misteriosa
fontana de mesura
que
el Universo armónico origina.
A
ti, mar de los sueños angulares,
flor
de las cinco formas regulares,
dodecaedro
azul, arco sonoro.
Rafael Alberti
13.- Números racionales, irracionales y
trascendentes.
Números Racionales : Es un número que puede ser
expresado como la razón de dos números enteros, como 1/3 o 37/22. Todos los
números que, cuando son representados en notación decimal, o bien se detienen
luego de un número finito de dígitos o caen en un patrón repetitivo, son
números racionales.
Números Irracionales: Un número irracional es aquel
que no se puede representar como razón de dos números enteros, y en
consecuencia no caen en un patrón repetitivo de ningún tipo cuando se expresan
en notación decimal.
Números Trascendentales: Estos son ciertos tipos de
números irracionales que se llaman números trascendentales. Al igual que los
números irracionales , se definen por lo que no son (no son números
racionales), sin embargo los números trascendentales se identifican como tal
porque no son otro tipo de números, conocidos como números algebraicos.
Un número
trascendental requiere de un número infinito de términos para ser definido con
exactitud. Es una manera de pensar en Dios. Hay ecuaciones especiales
para derivar a los números trascendentales donde los términos son cada vez más
pequeños a medida que se avanza, de modo que se pueden ir agregando para
alcanzar algún nivel de precisión requerido, pero el verdadero número no se
puede lograr con exactitud. Esa
es la belleza de los números trascendentales. (Extractado del artículo Why
Sacred Geometry from Mid Atlantic. www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada)
A lo largo
de las más diversas civilizaciones y épocas, obras de variadas dimensiones y de
profundo contenido han manifestado proporciones a partir de cinco razones matemáticas. Estas son
expresadas en números irracionales, es decir que no pueden expresarse como una
fracción y cuyo desarrollo decimal consta de infinitas cifras. Si bien estos
números son infinitos (en realidad son números finitos y lo que es infinito es
el largo de su desarrollo decimal), su equivalencia geométrica se acota en
forma precisa. Podemos encontrarlos en obras que van desde las pagodas
japonesas, los templos mayas, Stonehenge, las grandes pirámides egipcias, las
catedrales góticas, por nombrar sólo algunas; han utilizado estas razones:
13.1.- Raíz cuadrada de dos y el cuadrado.
A partir
de un cuadrado de lado 1, trazamos su diagonal la cual lo divide en dos
triángulos rectángulos, lo que nos lleva a recurrir nuevamente a Pitágoras
(fig. 45) y su cálculo de la hipotenusa.
Fig. 45 Raíz cuadrada de dos en el cuadrado.
13.2.- Raíz cuadrada de tres. El cuadrado
extendido y la Vesica Piscis.
Al abatir
el tramo AD de la fig. 45 se
extiende el tramo AB de valor 1 al
tramo AF de valor raiz cuadrada de
dos, igual a 1,41421. Esto nos arroja un rectángulo de lado 1 y 1,41421, por lo
tanto dos triángulos rectángulos con catetos de estos valores. Aplicamos
Pitágoras para conocer el valor de la hipotenusa (fig. 46).
Luego, si
trazamos dos círculos con radio común 1
AB, la intersección de éstos genera una Vesica Piscis cuyo lado menor (
AB) es 1.
El lado
mayor ( CD) es igual a la raíz
cuadrada de tres.
Al unir
los vértices del lado mayor C y D con los vértices del lado menor A y B, se obtienen cuatro triángulos rectángulos, a los que, a través
de Pitágoras, les podemos conocer el valor del cateto desconocido CE y ED; sumados éstos, nos dan el lado mayor CD de la Vesica Piscis (fig,
47).
Fig. 46 Raíz cuadrada de tres en
rectángulo Fig. 47 Raíz cuadrada de tres
en Vesica Piscis
13.3.- Raíz cuadrada de cinco y el doble
cuadrado.
La
diagonal del doble cuadrado de lado 1 nos proporciona dos triángulos
rectángulos de catetos 2 y 1 respectivamente. Aplicando Pitágoras obtenemos la
dimensión de la hipotenusa y diagonal del doble cuadrado, que es raíz cuadrada
de 5 (fig. 48).
Fig. 48 Raíz cuadrada de cinco en el doble
cuadrado
13.4.- Phi (?) y la relación entre el perímetro
de la circunferencia y su diámetro.
Uno de los
misterios que más ha intrigado a la humanidad se relaciona con el círculo,
aquella figura geométrica perfecta que representa el reino espiritual. Este
radica en la imposibilidad de resolver con absoluta precisión cuál es la
relación que existe entre el diámetro de un círculo y la longitud de su
perímetro. Es decir, cuántas veces cabe el diámetro en el largo extendido del
perímetro de la circunferencia.
Teniendo
un círculo de diámetro 1 de modo que su radio intercepte al eje XY en el punto B, hacemos rodar el círculo en el sentido de los punteros del
reloj hasta que el punto B del radio
haya dado toda la vuelta e intercepte nuevamente el eje XY. De este modo habremos desplegado el perímetro total de la
circunferencia. Esto sucede un poco más allá de haber avanzado tres veces el
diámetro del círculo (fig. 49). Este largo se ha definido como Phi ? , con un valor de número
irracional 3,14159
Fig. 49 El círculo y el número Phi
13.5.- PhiØ y la Proporción áurea.
Qué es la proporción áurea?
Es la
división armónica de una recta en media y extrema razón. Es decir que el segmento
menor, es al segmento mayor, como éste es a la totalidad de la recta.
Ya hemos
trabajado con patrones estructurados con el círculo femenino y de éstos se han
derivado nuevos patrones a los cuales se les ha sobrepuesto la línea recta
masculina. En esta oportunidad trabajaremos con la línea recta en forma
independiente, con la finalidad de incursionar en el concepto de la proporción, es
decir de la relación entre las partes o magnitudes medibles. Esta
relación proviene de cierta razón matemática, detrás de la cual se manifiesta la armonía del mundo que nos rodea.
En este sentido debemos comprender que nos enfrentamos a una dimensión sensible
de la existencia, más allá de un concepto de perfección abstracto.
Cuando
hablamos de proporción, lo estamos haciendo respecto de dimensiones comparadas,
por lo tanto de números. La comparación más básica que podemos hacer es
relacionar un todo que dividimos en dos partes, lo cual nos arroja tres
entidades: Parte a, parte b y una totalidad c. Esto lo aplicaremos a un segmento o línea recta entre los
puntos A y B, que denominaremos tramo
c, en el cual ubicaremos un punto C,
que a su vez dividirá el tramo c en
dos sub tramos a y b. La relación o proporción más
evidente es que el punto C esté
ubicado justo al medio del tramo AB,
con lo cual tendríamos que a = b y
logicamente a+b = c (fig. 50).
Las otras
posibilidades son que a sea mayor
que b, o que b sea mayor que a.
Fig. 50 Tramo dividido en dos
De acuerdo
a Fra Luca Paccoli de Borgo, existe una proporción de origen divino en que la
relación de las partes es: a es b como c es a a. En otras
palabras que el tramo AB sea al
tramo AC como el tramo AC es al tramo CB (fig.50). Es decir que el tramo completo sea al subtramo mayor
como éste es al menor.
Una
variante interesante es que usemos el punto C para doblar el segmento AB,
como si fuera un vara de plomo y lo juntamos con otra igual, para formar un
rectángulo. Uno se pregunta entonces, dónde habrá que doblar para que el
rectángulo se vea lo más armónico posible Si se hace el experimento con muchos
sujetos, la mayoría opta por una forma de rectángulo cuya razón largo: ancho estará muy cerca de la
razón áurea.
Solo hay
un punto C que cumple con esta
condición, que se manifiesta como la razón que expresa la igualdad a/b = a+b/a, que es lo mismo que a/b = c/a, o bien a2 = b (a+b). Esta proporción se reduce a un número que
multiplicado por el tramo a me dará
el tramo a+b que equivale al tramo c, donde ambos cumplen con la
proporción o relación referida. Lo mismo si tomamos el tramo c y lo dividimos por el mismo número
obtendremos el valor numérico del tramo a.
Este
número es el llamado número áureo o número de oro o
simplemente número Phi. Número que encontraremos
presente en las bellas artes, en la arquitectura, en las plantas, en el cuerpo
humano, en los animales y en todo el universo.
Construcción de la proporción áurea y obtención
de Phi a partir del cuadrado y del rectángulo áureo.
Vamos a
suponer un tramo a entre los puntos A y C como en la fig. 50. Le daremos al tramo a un valor de 2 unidades. A partir de este tramo se construye un
cuadrado ACDE de lado a con valor 2. A continuación encontramos el punto medio del tramo AC, el cual queda dividido en dos
subtramos de 1 unidad. Unimos este
punto con el vértice D del cuadrado
y con un compás hacemos centro en el mencionado punto medio y arco en D y lo abatimos sobre la prolongación
del tramo AC donde lo corta está el
punto B. Ahora tenemos el tramo b entre los puntos C y B que queda en
proporción áurea en relación al tramo a.
A su vez esto permite construir el rectángulo áureo ABFE (fig. 51).
Fig. 51 Construcción rectángulo áureo a partir
del cuadrado
El número Phi se obtiene a partir del triángulo rectángulo GCD. Según Pitágoras el cuadrado de la hipotenusa ( GD) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Es decir ( GD)2 = ( GC)2+( CD)2
Por lo tanto GD2 = 12 + 22 = 5
GD = ?5
El tramo GD, al abatirse
sobre la extensión del tramo AC, se
iguala al tramo GB. Entonces el
tramo AB es igual al GB+AG, por lo tanto igual a?5+1, lo que se debe dividir por 2 para
obtener Phi.
PhiØ = (V5+1):2 = 1,6180339..
PhiØ = (V5+1):2 = 1,6180339..
14.- El pentágono y el triángulo áureos.
El
pentágono regular da origen al triángulo áureo que es un triángulo isósceles
con dos ángulos en la base que miden 72? y el ángulo opuesto 36?. A su vez, si
la base del triángulo mide 1, sus otros dos lados están en proporción áurea y
miden 1,6180339.. (fig. 52)
Fig. 52 Triángulo áureo Fig. 53 Trazos en
proporción áurea en la estrella de cinco puntas.
Luego el
pentágono da origen a la estrella de cinco puntas, la que es considerada una
figura de gran contenido simbólico. Con una punta hacia arriba se considera una
protección contra el mal y al contrario, cuando se ubica con dos puntas hacia
arriba, un signo del mal, considerado como la supremacía de la materia sobre el
espíritu. Además todos sus trazos se encuentran en la proporción áurea. Esto se
ve en las relaciones de los trazos A, B, C y D (fig. 53)
En seguida
podemos observar la existencia de tres tamaños de triángulos áureos insertos en
la estrella de cinco puntas que se inscribe en el pentágono áureo. Cada uno
mantiene la misma relación áurea entre la base del triángulo y cada uno de sus
otros dos lados (fig. 54).
Fig. 54 Tres tamaños de triángulos inscritos en
el pentágono áureo.
15.- La serie Fibonacci y la proporción áurea.
Para
comprender la serie Fibonacci debemos primero definir lo que se entiende por
una serie numérica. Esto no es otra cosa que una sucesión progresiva de números
que sigue un patrón definido en su evolución. Por ejemplo la sucesión de
números naturales, de números pares, de números impares, de números primos,
etc.
No está
muy claro cuál es el patrón de los primos: en realidad parece aleatorio, y la
sucesión de los primos contiene secuencias aritméticas arbitrariamente largas
(teoremas recientes de Terence Mao, premio Nobel en matemáticas, año 2006)
En el caso
de la serie Fibonacci, se trata de una sucesión infinita de números naturales
que parten de 0 y luego el 1, para continuar con la suma de los
dos anteriores. Por lo tanto 0+1=1,
en seguida se suman los dos últimos, es decir 1+1=2, para seguir con 1+2=3,
a continuación 2+3=5, luego 3+5=8 y así hasta el infinito.
Si bien
esta serie numérica primero fue descubierta por matemáticos de la India como
Gopala alrededor del año 1135 y luego Hemachandra en 1150, que investigaron los
patrones rítmicos que se formaban con notas o sílabas, su real dimensión nos ha
llegado, en occidente, desde que fuera descrita y explicada por Leonardo de
Pisa, también llamado Leonardo Fibonacci, un matemático italiano del siglo
XIII.
Leonardo
de Pisa la describió con el fin de resolver un problema que planteaba la cría
de conejos, tratando de encontrar el patrón rítmico de nacimiento de éstos.
Más
adelante fue descrita también por el matemático alemán Johannes Kepler en el
siglo XVI. Y luego el matemático escocés Robert Simpson en 1753 descubrió la
relación de dos números sucesivos de la serie Fibonacci con la proporción
áurea, detectando que mientras más progresan éstos, más se aproxima su cociente
al número de oro o divina proporción (fig.55).
Fig. 55 Serie Fibonacci y la razón áurea
En la fig. 49
tomamos el número inicial 0+1 = al
número siguiente que en este caso es 1 y
al sumar el 1 inicial con el 1 siguiente tenemos 2, al sumar ambos tenemos 3, luego al sumar estos dos números,
llegamos a 5, enseguida a 8, después a 13 y así sucesivamente hasta el infinito.
A
continuación, si dividimos el número siguiente por el número inicial de cada
línea de la serie de la fig. 49 partimos con1,0, luego 2,0 y así
sucesivamente. Como los resultados de estas divisiones nos dan un número con
infinitos decimales, por razones prácticas los limitaremos a siete decimales, y
así encontramos que los resultados se van aproximando paulatinamente al número
que hemos descrito como número áureo con siete decimales Phi Ø = 1,6180339, lo que se logra cuando se llega a la división 6765 : 4181. De ahí en adelante las
divisiones que siguen tendrán siempre los mismos primeros 7 decimales hasta el
infinito. Si hacemos lo mismo con tres decimales, este número PhiØ = 1,618, se estabiliza a partir
de la división 233: 144.
En
realidad, para cualquier número de decimales que nos demos de antemano, se
observa que la sucesión de los cocientes llega a coincidir en esos decimales
con el número Phi.
Ahora
bien, si hacemos las divisiones a la inversa, es decir el número inicial
dividido por el siguiente, es decir si en lugar de dividir 10946 : 6765 = 1,6180338, dividimos 6765 : 10946 = 0,6180339. Esto es la proporción áurea a la inversa,
es decir si el tramo mayor mide 1
unidad, el tramo áureo menor medirá 0,6180339.
Esta serie
numérica la podemos encontrar en numerosas manifestaciones de la naturaleza:
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La relación entre la distancia entre las espirales del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La relación entre la distancia entre las espirales del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)
La
relación entre los lados de una estrella de cinco puntas o estrella de David.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La
distancia entre las espirales de una piña.
La
relación con el cociente entre el número de espirales horarias y antihorarias
de una flor de girasol o maravilla.
Las
relaciones entre muchas partes corporales de los humanos y los animales:
La
relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La
relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a
los dedos.
La
relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
La
relación entre las divisiones vertebrales.
La
relación entre las articulaciones de las manos y los pies.
Otro tanto
ocurre con una gran cantidad de creaciones artísticas:
Relaciones
arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.
La
relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s.
V a. C.).
En los violines, la ubicación de las efes (los oídos, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
En los violines, la ubicación de las efes (los oídos, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
El número
áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas
que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
Las
relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitrubio y en otras obras de
Leonardo da Vinci.*
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Débussy (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente).
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Débussy (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente).
Autores
como Bártok, Messiaen, Stockhausen compusieron obras cuyas unidades formales se
relacionan (a propósito) con el número áureo.
16.- La espiral áurea y la espiral Fibonacci.
La espiral
es una de las figuras geométricas con mayor carga simbólica que se expresa en
la geometría sagrada. Para comenzar
estamos viviendo en una espiral, la galaxia. Esta figura que en teoría no tiene
ni principio ni fin está presente en todo nuestro entorno natural, cultural y
espiritual. Nuestro oído, con el que escuchamos, se desarrolla en forma de
espiral, y también lo encontramos en los conos de los pinos, en algunos cuernos
animales, en variadas plantas, en las conchas marinas, en el flujo natural del
agua que se escurre por un desagüe, en el flujo de aire de los tornados y
huracanes, simbolizando los ciclos de evolución de numerosos procesos, etc.
Cada vuelta de la espiral representa un ciclo de evolución, ofreciendo una
perspectiva cada vez más amplia e inclusiva. Si imaginamos la evolución como un
patrón curvo, la espiral implica el concepto de crecimiento de esta evolución.
En caso contrario si la curva vuelve al comienzo, nos encontramos atrapados en
un proceso regresivo e involutivo.
Para los
propósitos de configurar el tema de la geometría sagrada, distinguiremos dos
tipos de espirales. Por un lado la espiral
logarítmica (fig. 56), que es la que encontramos frecuentemente en la
naturaleza y que se caracteriza por que sus brazos se incrementan en progresión
geométrica. Luego está la espiral de
Arquímedes (fig. 57), cuyos brazos lo hacen con distancias constantes.
Fig.
56 Espiral logarítmica Fig. 57 Espiral de
Arquímedes
Nos
centraremos en la espiral logarítmica, cuya construcción se logra a partir del
rectángulo áureo, cuyo lado menor es 1 y el mayor es 1,6180339 (fig. 58). Otra
manera de hacerlo es a partir de la serie numérica Fibonacci aplicada a la
diagonal de un cuadrado de lado 1 que crece en la secuencia de la serie
Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13. (fig. 59).
Fig.
58 Espiral áurea Fig. 59 Espiral
Fibonacci.
Ambas espirales, si bien al partir tienen un patrón de desarrollo
diferente, a medida que van gradualmente creciendo y alejándose de su centro,
comienza a desaparecer la diferencia y se igualan cada vez más. Es decir ocurre
algo equivalente a lo que ocurre cuando crece la serie Fibonacci, aproximándose
cada vez más al número áureo.
Por otro
lado las espirales se dividen en femeninas y masculinas, lo que dice relación
con los dos tipos de energías que las construyen. La espiral masculina se
expresa a través de las diagonales de los cuadrados que van girando en 90. Esto
ocurre tanto en los cuadrados que dan origen al rectángulo áureo para la
espiral áurea (fig.60), como en la trama de cuadrados que dan origen a la
espiral Fibonacci (fig. 61).
Fig.
60 Espiral áurea masculina Fig. 61
Espiral Fibonacci masculina
La espiral femenina se va construyendo con el arco que queda conformado entre los trazos de estas diagonales y los círculos cuyos radios son el lado de los cuadrados que definen dichas diagonales. (figs. 62 y 63).
Fig.
62 Espiral áureo femenina Fig. 63 Espiral
Fibonacci femenina
Uno de las manifestaciones más características y evidentes de la espiral áurea es la concha del nautilus (fig. 64).
Fig. 64 Nautilus y la espiral áurea
17.- La espiral, el triángulo y el pentágono
áureos.
Otra
manera de trazar la espiral áurea es a partir del triángulo áureo, con dos ángulos
de 72en la base y uno de 36en el extremo opuesto que se genera en el pentágono
regular. Utilizando líneas paralelas del trazado de dicho triángulo y del
pentágono en el cual se inscribe (fig. 65), se logra construir un secuencia de
triángulos áureos que permiten trazar los círculos con centros en los puntos A, B, C y D, y cuyos arcos conforman esta nueva espiral áurea (fig 66).
Fig. 65 Trazado para construir sobre triángulos
áureos Fig. 66 Espiral triángulos áureos
18.- Consideraciones finales.
A pesar de
la extensión de este texto, hay que aclarar que cada uno de los temas que se
han tocado son solamente el inicio. Se pueden profundizar y desarrollar mucho
más allá de lo expuesto aquí.
Lo sagrado
puede considerarse como aquello que conecta al fenómeno individual con la
creación toda y con su origen. En el caso de la geometría sagrada, se trata de
un sistema simbólico específico que nos evidencia un universo (universo: una
sola voz) construido con patrones semejantes desde lo más inmenso hasta lo más
pequeño, desde lo global hasta lo más íntimo o personal, en una relación de
completa correspondencia que nos llama a la reflexión.
La
Geometría es sagrada cuando expresa no sólo relaciones o proporciones físicas o
abstractas, sino cuando expresa valores eternos referidos a la belleza, la
verdad, o la incidencia de la luz sobre las formas (consciencia), en su danza
de radio y arco.
Es
importante comprender que todos estos temas no sólo deben comprenderse e
incrementar la información que tiene nuestro disco duro, sino que debe alcanzar
la dimensión de un trabajo práctico. Es decir que partiendo de la información
expuesta, se puede comenzar por armarse de un compás, una escuadra, lápiz y
papel, e iniciar nuestra propia investigación que nos llevará a transitar por
caminos insospechados.
Todo lo
que ha sido expuesto puede y debiera imaginarse en tres dimensiones, lo que lo
potencia aún más el significado esencial de lo que hasta ahora se ha visto.
La
profundización de esta práctica en cuanto a trabajo de dibujo tiene el
potencial de aproximarse a lo que es un proceso de meditación. Un buen ejemplo
es el dibujo de los mandalas (fig. 67), que en algunas circunstancias y con una
práctica apropiada son un buen medio de introspección e incluso de sanación, al
ser instrumentos de re-ligazón entre lo general y lo particular.
Semilla de la vida…Tercer día del Génesis…Vesica
Piscis
Flor de la vida…Cubo metatrón…Laberinto de
Chartres
Rueda del desierto…Escudo amarillo…Montaña
Sagrada
Fig. 67 Mandalas del artista Charles Gilchrist
19.- Bibliografía de referencia:
Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes.- Matila C. Ghyka. Ed. Poseidon, 1977
El número de oro I y II.- Matila C. Ghyka. Ed. Poseidon. 1968
La Divina Proporción.- Luca Pacioli. Ed. Akal S.A. 1991.
Geometría Sagrada, Descifrando el código.- Stephen Skinner. Ed. Gaia. 2007
Sacred Geometry.- Miranda Lundy. Ed. Walker & Compny, New York. 1998
El antiguo secreto de la Flor de la Vida.- Vol. 1 y 2, Drunvalo Melchizedek. Ed. Teohua, Mexico
www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada
www.charlesgilchrist.com
www.georgehart.com
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